The One-Wheel Cubli: A 3D inverted pendulum that can balance with a single reaction wheel

单轮立方体：只有一个反作用轮就可以平衡的3D倒立摆

考虑该欠驱动系统的动力学模型可以简化为

$$\ddot{\alpha}(t)=\pi_{\alpha}^2 \alpha(t)+\sigma \pi_{\alpha}^2\cos(\eta)T_m(t)\tag{1}$$

$$\ddot{\beta}(t)=\pi_{\beta}^2 \beta(t)+\sigma \pi_{\beta}^2\sin(\eta)T_m(t)\tag{2}$$

其中$\alpha$与$\beta$分别为Cubli两个主轴的倾斜角，$\pi_{\alpha},\pi_{\beta}>0$分别为两个主轴方向上的自然振荡频率，控制量为$T_m(t)$，$\eta \in [0,\pi/2]$为动量轮的安装角，$\sigma$为输入力矩的常值比例增益。取系统状态$\mathbf{\xi}(t):=\begin{bmatrix}\alpha(t) \quad \dot{\alpha}(t) \quad \beta(t) \quad \dot{\beta}(t)\end{bmatrix}^T$，不难看出当安装角$\eta=0,\pi/2$时，或$\pi_{\alpha}=\pi_{\beta}$时，系统不可控。

可控性

$$ X:=\bigcup_{\|T_m\|^2\leq1}\left\{\rm{\xi}(0)\in\mathbb{R}^4|\enspace\rm{\xi}(t)\enspace \text{satisfies(1)and(2)},\lim_{t\rightarrow\infty}\xi(t)=\lim_{t\rightarrow-\infty}\xi(t)=\mathbf{0}\right\}\tag{3} $$

集合$X$描述的是系统在单位控制量作用下可以从初始状态$\mathbf{\xi}(0)$返回原点$\mathbf{0}$的状态空间区域。通过描述该集合$X$的大小可以作为该系统可控性的一种度量。

白银比例

为了不失一般性，假设$0<\pi_{\beta}\leq\pi_{\alpha}$，式(3)可以分解为4个部分，如式(4)所示。

$$ \text{vol}(X)\sim\sigma^2(\sin(\eta)\cos(\eta))^2(\frac{\pi_{\alpha}}{4})^2(\epsilon\frac{1-\epsilon}{1+\epsilon})^2\tag{4} $$

其中$\epsilon=\pi_{\beta}/ \pi_{\alpha}$。

图所表示的为$\epsilon\frac{1-\epsilon}{1+\epsilon}$与$\epsilon$之间的关系。不难看出，当$\epsilon=1/ \delta_s$时，$\epsilon\frac{1-\epsilon}{1+\epsilon}$取最大值，而$\delta_s=\sqrt{2}+1$为白银比例。

也就是说当系统的自然频率比值$\pi_{\alpha}/ \pi_{\beta}=\delta_s=\sqrt{2}+1$时，系统的可控性指数最大。

Referance

Matthias Hofer, Michael Muehlebach, Raffaello D’Andrea,The One-Wheel Cubli: A 3D inverted pendulum that can balance with a single reaction wheel.Mechatronics.Volume 91,2023,102965.ISSN 0957-4158.
Muehlebach Michael. The silver ratio and its relation to controllability. 2019,arXiv:1908.07109