The One-Wheel Cubli: A 3D inverted pendulum that can balance with a single reaction wheel
单轮立方体:只有一个反作用轮就可以平衡的3D倒立摆
考虑该欠驱动系统的动力学模型可以简化为
$$\ddot{\alpha}(t)=\pi_{\alpha}^2 \alpha(t)+\sigma \pi_{\alpha}^2\cos(\eta)T_m(t)\tag{1}$$
$$\ddot{\beta}(t)=\pi_{\beta}^2 \beta(t)+\sigma \pi_{\beta}^2\sin(\eta)T_m(t)\tag{2}$$
其中$\alpha$与$\beta$分别为Cubli两个主轴的倾斜角,$\pi_{\alpha},\pi_{\beta}>0$分别为两个主轴方向上的自然振荡频率,控制量为$T_m(t)$,$\eta \in [0,\pi/2]$为动量轮的安装角,$\sigma$为输入力矩的常值比例增益。取系统状态$\mathbf{\xi}(t):=\begin{bmatrix}\alpha(t) \quad \dot{\alpha}(t) \quad \beta(t) \quad \dot{\beta}(t)\end{bmatrix}^T$,不难看出当安装角$\eta=0,\pi/2$时,或$\pi_{\alpha}=\pi_{\beta}$时,系统不可控。